数学力アップ講座
3、実数
「小数」の中で「有理数」の範囲に収まらないもの、それが「循環しない無限小数」ですが、これを「無理数」（irrational number）と言います。そして、「有理数」と「無理数」を合わせて「実数」（real number）という概念が生まれて来ました。こうして見ると、何だか「有理数」には「道理」があって、「無理数」には「無理」があるかのようですが、「比で表わされる数」「比では表わされない数」ということですから、「有比数」「無比数」と言ってもいいぐらいでしょう。
例えば、2乗する（2回同じ数を掛ける）と2になる数を2の「平方根」と言い、その正の数の方を
（ルート2）と表します。この
を小数で表すと1.4142･･･と無限に続き、同じ数が繰り返し現われるわけでもないので、分数の形で表すことはできません。その存在は古代ギリシア時代から知られており、図形や測量術などでは欠かせないものです。実際、三角形を扱えば、直角三角形の辺の比の中で
や
が頻繁に出てきます。あるいは「円」においても、「円周」を「直径」で割れば「円周率」πが出ますが、これも「超越数」（transcendental number、いわゆる「方程式」の解にならない実数、代数的数でない実数）と呼ばれる「無理数」です。これも円を扱う上で欠かせない数と言えます。そもそも図形の中で最も基本的なものは「円」と「三角形」ですから、「測量術」から発達した「幾何学」でもこうした「無理数」を「数の体系」の中に組み込まざるを得なかったのです。
かくして、有限小数でも循環小数でもない、循環しない無限小数である「無理数」と分数の形で表される「有理数」と無理数を合わせて「実数」となるわけですが、これらは全て1本の数直線上に表すことができます。逆に言えば、実数とは「数直線上の全ての数」と言ってもいいでしょう。何でもビジュアルに表現できると途端に分かりやすくなりますね。数学では特にそうです。こうして、「現実的な数」が全て網羅され、「数直線」は「連続体」として完結しました。
無理数：
やπのように循環しない無限小数で表される数です。無理数は（a、bは整数）という形では表せません。次の3つの無理数は計算でもよく出てくるので、小数点第二位まで覚えておくと、便利でしょう。
＝1.41421356･･･（一夜に･･･）
＝1.7320508･･･（人並みにおごれや･･･）
π＝3.141592653589793･･･（身一つ世一つくに無意味、いわく泣く身･･･）
実数：有理数と無理数を合わせたものです。
数直線：直線上に原点Oを取り、Oの右に点Eを定めます。そして、線分OEの長さを1として、Oから右に2の距離にある点には点2を対応させ、Oから左に2の距離にある点には数－2を対応させます。このように各点にそれぞれ1つの実数を対応させる時、この直線を数直線と言います。原点Oは0に対応し、点Eは1に対応します。数直線上の点Aに対応する実数aを点Aの座標と言います。Aの座標がaであることをA(a)と表わします。実数aに対して、aを座標とする数直線上の点がただ1つ定まり、実数は全て数直線上の点として表されます。
【数の大小】
数直線上では右にあるほど大きい数で、左にあるほど小さい数です。正の数では特に問題はありませんが、負の数の場合、例えば－5と－3では－3の方が大きい数となりますので、気をつけましょう。これを不等号を使って、－5＜－3と表します。5と3では5の方が大きいので、ついつい－5と－3でも－5の方が大きいように思えてしまうのです。
【絶対値】
実数aに対して数直線上に点A(a)を取った時、原点Oから点A(a)までの距離OAをaの絶対値と言い、|a|で表します。絶対値の中が正の数ならそのまま絶対値を外し、絶対値の中が負の数なら－(マイナス)をかけて外すと覚えましょう。例えば、|2|＝2、|－2|＝2となります。
【実数の上の数は？】
自然数→整数→有理数→実数と来ましたが、「これより上があるのか？」と言えば、実数に虚数を加えた「複素数」なるものがあります。これは高校で学ぶ内容なのですが、虚数は負の数以上に厄介です。負の数ならまだ借金とか、反対方向への移動という感じでイメージすることもできますが、何しろ虚数というのは2乗すると－1になる数を虚数単位iとして表わすのです。2乗すると負の数になる数（i＝－1）なんて、どうイメージすればいいのでしょうか。これは数直線上に表現することは不可能です。そして、a＋bi（a, bは実数）の形で表わされる数を複素数と言います。つまり、実数はb＝0の時の複素数であることが分かります。ここで数の体系としてはいったん区切りがつくので、興味がある人は複素数について調べてみましょう。ひょっとしたら、「数学の花園」にも出くわすかもしれません。