数学力アップ講座

2、有理数と無理数

「整数」の計算では「割り算」の時に無理が生じます。「割り切れる数」だけでなく、「割り切れない数」が出て来るからです。そこで、次のような形で表される「有理数」（rational number）の概念が登場しました。

${\displaystyle \frac{b}{a}.}$ （a, bは整数、a≠0）

「ratio」とは「比」のことですから、「整数の比で表わされる数」ということになりましょう。「有理数」の中では「分数」（fraction, broken number）が比較的早く発見され、それから大分遅れて「小数」（decimal fraction）が発見されました。特に「小数」は「有限小数」（terminating decimal、0.5, 1.75など）と「無限小数」（infinite decimal）がありますが、「有限小数」及び「無限小数」の中の「循環小数」（recurring decimal、0.333･･･など）のみが「有理数」に属します。こういった分数と小数は多くの小学生達が涙を流し、算数を呪う所でもあります。1, 2, 3,…といった自然数ではないので、扱いづらいのは事実ですね。

ここで問題を1つ出してみましょう。
【問題】循環小数0.12121212･･･を分数の形に直せ。
【発想】循環小数は有理数ですから、必ず分数表記されるはずですが、無限に続くものをどうやって扱うの？といったところですね。これは両辺を100倍して元の式を引いて「無限」を消せばいいと「発想」するのです。
　100x＝12.121212･･･　･･･②　②から①を引くと･･･
　99x＝12　　　　　　　アラ、不思議、「無限」が消えました！
　∴x＝ ${\displaystyle \frac{12}{99}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{4}{33}}$ となるわけです。

これと同じ発想を高校数学で学ぶ等比数列の和（等比級数）でも使います。実に数学の歴史の中で、こうした「すぐれもののアイデア」（この場合、無限に続く小数を無限に計算しなくても、単純な掛け算と引き算だけで消去してしまいます）があちこちにちりばめられており、これを普通は単純に「受験テクニック」として学んでいくわけですが、まずもって「アイデアのすばらしさ」そのものに「感動」する「心、感性」の方が重要だと言えるでしょう。無味乾燥な「公式」をひたすら覚え込むより、「頭いいなー、コイツやるな！」「誰がこんなこと考えたんだろう？」などと考え、感じながら、アイデアそのものを自分のモノにしていく方が楽しいに決まっていますね。

有理数：0でない整数aと整数bを用いて、 ${\displaystyle \frac{b}{a}.}$ と表すことのできる数のことです。
分数：有理数 ${\displaystyle \frac{b}{a}.}$ はこれ以上約分できない分数で表すことが多いのですが、このような分数を既約分数と言います。ちなみに ${\displaystyle 1\frac{3}{5}}$ という形で書いてある分数を帯分数と言い、「１と ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ 」と読みます。1＝ ${\displaystyle \frac{5}{5}}$ なので、 ${\displaystyle 1\frac{3}{5}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{8}{5}}$ ということになります。また、分母が1の場合はわざわざ書きませんので、 ${\displaystyle \frac{5}{1}}$ なら5と書きます。
小数：1より小さい数を表したもので、分数は全て小数を使って表すことができます。1.45の「．」を小数点と言い、小数点のすぐ右の位（10分の1の位、この場合は「4」）のことを「小数点第一位」と言い、小数点から右へ2番目に当たる位（100分の1の位、この場合は「5」）のことを「小数点第二位」と言います。一般に有理数は整数、有限小数、循環小数のいずれかになります。
有限小数： ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ =0.25、 ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ ＝1.5　のような有限の小数です。
無限小数： ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ =0.33333333…、 ${\displaystyle \frac{12}{37}}$ ＝0.324324324･･･　のように限りなく続く小数です。
循環小数～同じ数字の並びが周期的に繰り返される無限小数です。0.33333333…＝0.3、0.324324324･･･＝0.324　のように、循環する部分が分かるように記号・を用いて表します。


【通分と約分】
分数の計算でよくやってしまう落とし穴はそのまま足したり、引いたりしてしまうというものです。例えば、 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ＋ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{1+2}{3+5}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ といった感じです。リンゴで言えば、個と個は別物なので、同じ土俵にしなければなりません。ここで使うのが最小公倍数の知識です。2と3の最小公倍数は6なので、分母を最小公倍数にしてそろえる（これを通分と言います）と、 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{3}{6}}$ 、 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{2}{6}}$ となります。したがって、 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ＋ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{3}{6}}$ ＋ ${\displaystyle \frac{2}{6}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{2}{6}}$ となるわけです。
ここで非常に重要であるのが、分数の場合、「分子・分母に同じ数を掛けても、逆に同じ数で割っても、元の数と同じ」ということです。計算しやすくするために、このように分子・分母を両者の公約数で割って、分母が小さい分数にすることを約分と言います。
（例） ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{2\times <!--multiplication\; sign-->2}{3\times <!--multiplication\; sign-->2}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{4}{6}}$ 、 ${\displaystyle \frac{4}{6}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{4÷<!--division\; sign-->2}{6÷<!--division\; sign-->2}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$
この通分と約分は計算スピードを速める上で絶対に必要な知識なので、インプットしておきましょう。


【分数・小数の計算】
分数・小数が計算に入ると、計算間違いが増えてきます。
①分数の割り算は逆数の掛け算になります。
例：4÷ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ ＝4× ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ ＝2×3＝6
②小数の計算は分数に直してからすると楽になります。
例：4×0.56÷2.8＝4× ${\displaystyle \frac{56}{100}}$ ÷ ${\displaystyle \frac{28}{10}}$ ＝4× ${\displaystyle \frac{14}{25}}$ × ${\displaystyle \frac{10}{28}}$ ＝4× ${\displaystyle \frac{14}{25}}$ × ${\displaystyle \frac{5}{14}}$ ＝4× ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ ＝ ${\displaystyle \frac{4}{5}}$

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